أمثلة على قاعدة كرامر
قاعدة كرامر: في بعض الأحيان ، قد يكون استخدام جبر المصفوفة أو المصفوفات المعكوسة أمرًا مملًا لإيجاد حل لنظام المعادلات الخطية و أحيانًا يكون من الأنسب استخدام قاعدة كرامر ومحدداتها لحل نظام المعادلات لذلك يصبح من الصعب العثور على محددات في أبعاد أعلى ، وبالتالي فإن بحث عن قاعدة كرامر هو الأفضل لحل أنظمة المعادلات الخطية الأصغر و هنالك بعض الامثلة على ذلك
الامثلة:
- حل المعادلة التالية باستخدام طريقة المحددات
x + 2y = 0
−x + y + z = 1
x + 2y + 3z = 0
الحل
باستخدام قاعدة كرامر ، يمكننا كتابة الحل على هيئة نسبة محدد
- حل المعادلة التالية
12 6 0
24 = 11 5 1 det
10 2 2
الحل:
12 6 0
11 5 1 D = det
10 2 2
12 6 0
−1 −1 1 = det
−2 −4 2
2 1 0
−1 −1 1 = 6 det
−2 −4 2
0 −1 2
−1 −1 1 = 6 det
0 −3 2
−1 −1 1
0 −1 2 = −6 det
0 −3 2
1 1 −1
0 −1 2 = 6 det
0 −3 2
1 1 −1
0 −1 2 6 det
0 0 −4
= 6(1)(−1)(−4)
= 24
- حل المعادلات التالية باستخدام كريمر
x + 2 z + 3 y = 2
2x + 5 y + 3 z = 3
x + 8 y = 4
الحل:
عند الحل باستخدام قاعدة كرامر ، تابع السلوب التالي
1) نحول النظام الى نظام المصفوفات
2) نجد المحدد للمصفوفة الممتدة
3)A3، A2، A1 للمصفوفات المحددة
4) ثم نطبق القاعدة
(1)
1 2 3 X= 2
2 5 3 Y = 3
1 0 8 Z= 4
X = B A
( 2 )
A = 1 ( 40 ) – 26 – 15 = -1 = 0
( 3 )
2 2 3
A1 = 3 5 3
4 0 8
(A1 = 2 ( 40 ) – 2 ( 12 ) + 3 ( -20
= 80 – 24 – 60
= -4
1 2 3
A2 = 2 3 3
1 4 8
(A2 = 1 ( 12 ) – 2 ( 13 ) + 3 ( 5
= 12 – 26 + 15
= 1
1 2 2
A3 = 2 5 3
1 0 4
(A3 = 1 ( 20 ) – 2 ( 5 ) + 2 ( -5
= 20 – 10 – 10
= 0
( 4 )
X = A1 / A = -4 / -1 = 4
Y = A2 / A = 1 / -1 = -1
Z = A3 / A = 0 / -1 = 0
مجموعة الحلول = 4 , -1 , 0
- المطلوب قيمة إيجاد متغير واحد (Z)2 X + Y + Z = 1X – Z + 4 Y = 0X + 2 Z – 2 a = 3لإيجاد Z فقط يجب نوجد العامل المحدد ، ثم نوجد Dz بإستبدال العمود الثالث بعمود الحل (1-0-3): ، فالحل:Z = 2
- حل المعادلة التالية باستخدام طريقة المحددات
x + 2y = 3
2x + 4y = 6
Δ =1 2
2 4
= 4 – 4
∆ = 0
Δx =3 2
6 4
= 12 – 12
∆ₓ = 0
Δy =1 3
2 6
= 12 – 12
∆ᵧ = 0
بما أن ∆ = 0 ، ∆ₓ = 0 و ∆ᵧ = 0 وعلى الأقل أحد العناصر في ∆ ليس صفريًا. ثم يكون النظام متسقًا ولديه عدد لا نهائي من الحلول. يتم تقليل النظام أعلاه إلى معادلة واحدة. لحل هذه المعادلة ، علينا تعيين y = k.
x + 2y = 3
x + 2 (k) = 3
x + 2k = 3
x = 3 – 2k
y = k
الحل:
x = 3 – 2k
y = k هنا k ∈ R
انجازات غابرييل كرامر
- حصل على الدكتوراه بسبب نظرية الصوت التي قدم بها اطروحته وهو في سن صغير فلم يتجاوز حينها ال 19 عام
- علم كريمر الهندسة و الميكانيك في عمر ال 21 سنة
- أنتج مقالات ذات أهمية كبيرة و التي تغطي مجموعة واسعة من الموضوعات بما في ذلك دراسة المشكلات الهندسية وتاريخ الرياضيات والفلسفة والتاريخ
- اضطلع بمهام تشمل المدفعية والتحصين و إعادة بناء المباني والحفريات وعمل أمين أرشيف
- زار علماء رياضيات بارزين في العديد من مدن و دول أوروبا المختلفة.
- كان كريمر يعمل على دخول الجائزة التي حددتها أكاديمية باريس لعام 1730 و فاز بجائزة يوهان برنولي
- قدم كريمر مفهوم المنفعة ، وهو مبدأ رئيسي يربط اليوم بين نظرية الاحتمالات والاقتصاد الرياضي
- قام بتدريس دوراته باللغة الفرنسية بدلاً من اللاتينية ، ورهي اللغة التقليدية للعلماء في ذلك الوقت
- نشر مقالًا عن الشفق القطبي في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن
- كتب مقالًا عن القانون حيث طبق الاحتمال لإثبات أهمية الحصول على شهادة مستقلة من شاهدين أو ثلاثة شهود بدلاً من شاهد واحد.
- نشر أربعة مجلدات مقدمة à lanalyse des lignes Courbes algébriques حيث احتوى العمل على قاعدة كرامر ، التي تحكم حلول المعادلات الخطية ، ومفارقة كرامر
نبذة عن حياة غابرييل كرامر
عالم ولد في سويسرا عام 1704 بالتحديد في مدينة جنيف ، عندما بلغ العشرين أصبح رئيسا مشاركا في جامعة جنيف يقسم الرياضيات، وكتب عن السبب الفيزيائي للشكل الكروي للكواكب، وحركة أبسيدس لها ، وعلاج نيوتن للمنحنيات المكعبة.
بعد عام من نشر أهم أعماله الرياضية ،في عام 1750 ، تم تعيين كريمر أستاذا للفلسفة في الأكاديمية (ترك كالاندريني منصبه لخدمة الحكومة السويسرية) ، ونشر أربعة مجلدات مقدمة à lanalyse des lignes Courbes algébriques.
احتوى العمل على قاعدة كرامر ، التي تحكم حلول المعادلات الخطية ، ومفارقة كرامر ، التي أوضحت اقتراحًا طرحه كولين ماكلورين (1698-1746) بشأن النقاط والمنحنيات التكعيبية. بالإضافة إلى ذلك ، قدم كريمر مفهوم المنفعة ، وهو مبدأ رئيسي يربط اليوم بين نظرية الاحتمالات والاقتصاد الرياضي
عانى كريمر من سقوط من عربة. كان العالم مرهقًا منذ فترة طويلة ويعاني من الإرهاق ، لذلك نصحه طبيبه بالراحة في جنوب فرنسا. في 4 يناير 1952 ، توفي كرامر وهو في طريقه إلى بلدة بانول.
المنحنيات الجبرية
في الرياضيات ، يمثل منحنى المستوى الجبري الذري مجموعة متعددة الحدود الصفرية في متغيرين ، ومنحنى المستوى الجبري الإسقاطي هو الصفر المحدد على مستوى الإسقاط لمتغير متعدد الحدود متجانس ثلاثي المتغيرات .
ويكتمل منحنى المستوى الجبري للمستوى في منحنى المستوى الجبري الإسقاطي من خلال التجانس ، وكثير الحدود المعرَّف به ، والجبر الإسقاطي العكسي.
يمكن أن يقتصر منحنى المستوى على منحنى المستوى الجبري الأفقي عن طريق استبدال مصطلح غير محدد لبعض المصطلحات المتجانسة ، حيث أن هاتين العمليتين ، الأخرى .
غالبًا ما يتم استخدام التعبير عن منحنى المستوى الجبري دون تحديد ما إذا كانت الحالة الجبرية أو الحالة الإسقاطية متضمنة.
بشكل أكثر عمومية ، المنحنى الجبري عبارة عن مجموعة جبرية أحادية البعد ، بالتساوي ، المنحنى الجبري هو مجموعة جبرية تساوي منحنى مستوى جبري في مستوى ثنائي ، وإذا كان المنحنى يقع في مساحة تابعة أو مجال إسقاطي ، فإن واحدًا مثل هذا. يمكنك أن تأخذ إسقاط التكافؤ الثنائي وتسمح المعادلات .
هذا التكافؤ يحد من معظم العمل على المنحنيات الجبرية لدراسة منحنى المستوى الجبري ، لكن بعض الخصائص لا يتم حفظها تحت المعادلة الثنائية ويجب دراستها على منحنيات غير منتظمة.
(يشار إليها غالبًا باسم منحنيات الفضاء أو منحنيات التباعد) ، أي بشكل خاص حالة النعومة ، نظرًا لأن العديد من منحنيات الجبر غير الفردية لا تساوي أي منحنى مستوى جبري (وهذا ينطبق على جميع منحنيات الجنس الإيجابية).
المنحنى الجبري في المستوى الإقليدي
هو عبارة عن مجموعة من النقاط التي تمثل إحداثياتها حلولًا لمعادلة متعددة الحدود ثنائية المتغير ، وغالبًا ما يشار إلى هذه المعادلة على أنها المعادلة الضمنية للمنحنى ، على عكس المنحنيات ، وهي رسم بياني لوظيفة يحدد بوضوح y. بدالة x و منحنى معطى بواسطة مثل هذه المعادلة الضمنية ، تتمثل المشكلات الأولى في تحديد شكل المنحنى و رسمه.
حل هذه المشكلات ليس بالأمر السهل ، كما هو الحال في الرسم البياني للدالة حيث يمكن حساب y بسهولة لقيم x المختلفة، حقيقة أن المعادلة المحددة هي كثيرة الحدود تعني أن للمنحنى بعض الخصائص الهيكلية التي يمكن أن تساعد في حل هذه المشاكل.
